Решение пределов через раскрытие неопределённостей. Методы решения пределов. Неопределённости.Порядок роста функции. Метод замены
Ну, вот скажите, как так получается, что как только у меня возникает ощущение, что пора высказаться на какую-нибудь тему, так сразу и во френд-ленте возникает несколько постов, в которых затрагиваются те же самые вопросы?
Сейчас вот после публикации рассуждений насчет «свободы и необходимости» () возникла потребность высказаться по неким математическим вопросам; и тут же вижу во френд-ленте: http://vorona-n.livejournal.com/66460.html и http://kosilova.livejournal.com/595991.html?thread=11645207#t11645207 !
А высказаться мне захотелось по вопросам о бесконечности
.
Дело в том, что большинство труднопостижимых загадок и «парадоксов» и в науке, и в философии связаны ИМХО именно с бесконечностью
. Пока мы остаемся в рамках конечных, замкнутых систем – все просто, наглядно, понятно, но зато и пессимистично: «тепловая смерть», предсказуемость и предопределенность, механистичность и алгебраичность. Пока мы остаемся в рамках замкнутых систем, нет места «звездному небу» или «уроку гармонии», «свободе воли» и «обширному полю сознания».
Возможно, именно в способности аппелировать к бесконечности и заключается основное достижение человеческого разума?
А бесконечность полна парадоксов. Именно они, пожалуй, больше всего запомнились мне из всего курса математики в школе и универе.
sin_gular
в обсуждении поста http://kosilova.livejournal.com/595991.html пишет: …И вот что я подумал - все таки вся человеческая математика основана на понятии натурального числа. На дискретности и анизотропности. Видимо так интуитивно работает мозг. Базовым математическим объектом для нас оказалось натуральное число.
Но ведь даже натуральный ряд (1, 2, 3, …) – это уже простейшая из возможных бесконечностей.
И она уже дает нам множество парадоксов.
1. Бесконечность + бесконечность = та же самая бесконечность.
Ну, вот первый из парадоксов. Возьмем не натуральные числа, а целые: то есть добавим к натуральному ряду ещё «0» и отрицательные числа. Казалось бы, общее количество чисел должно было увеличиться вдвое; но на самом деле, их осталось столько же! Потому как целые числа можно перенумеровать так же, как натуральные. Вот:
1 – 0
2 – 1
3 – -1
4 – 2
5 – -2
6 – 3
и т.д. То есть взяв любое целое число, мы однозначно сможем сопоставить ему натуральное, и наоборот. Целых чисел – столько же, сколько и натуральных!
И сколько ни прибавляй к бесконечности бесконечность, все равно в результате будет ТА ЖЕ САМАЯ бесконечность! Ну, не хочет она увеличиваться, и всё тут!
2. «Бесконечность» умножить на «бесконечность» = та же самая «бесконечность»!
Но этого мало. Возьмем теперь не целые числа, а рациональные – то есть всевозможные дроби, полученные путем деления одного целого числа на другое.
Казалось бы, их должно быть в бесконечное число раз больше, чем количество целых чисел. Ну, возьмем, к примеру, такое сопоставление:
1 – 1;
2 – ½;
3 – 1/3;
4 – ¼;
5 – 1/5;
и т.д.
Казалось бы, мы взяли лишь малую толику рациональных чисел – только между 0 и 1 и только такие, где в числителе стоит «1»; а их уже оказалось столько же, сколько всех целых чисел, вместе взятых! Значит, в общей сложности, рациональных чисел должно быть в бесконечное число раз больше, чем целых!
А вот получается, что на самом деле это вовсе не так. Потому что рациональные числа на самом деле тоже можно перенумеровать, точно так же, как и целые!
Вот, смотрите. Давайте выстроим такую вот «числовую пирамиду»:
1 – 0;
2 – 1/1 (=1);
3 – ½ ; 2/1 (=2);
4 – 1/3 ; 3/1 (=3);
5 – ¼ ; 2/3 ; 3/2 ; 4/1 (=4);
и т.д.
Т.е. на каждом «этаже» пирамиды располагаются те дроби, в которых сумма числителя и знаменателя равна номеру «этажа» пирамиды!
Не буду приводить доказательств, но таким образом можно перенумеровать все рациональные числа – то есть даже перемножив «бесконечность» на саму себя, да ещё не один раз, мы в итоге получили ТУ ЖЕ САМУЮ бесконечность!
3. Дуализм «дискретного» и «непрерывного»
Как говорится, «чем дальше в лес, тем больше дров».
Парадоксы я стараюсь расположить в порядке нарастания степени их парадоксальности. И вот сейчас мы как раз подходим к тому из парадоксов, который меня в своё время поразил, пожалуй, больше всего.
Интуитивно понятно, что есть две принципиально разные вещи – процессы «дискретные» и «непрерывные». Грубо говоря, набор точек и линия.
Формально, если взять для наглядности геометрическое представление, то дискретное множество – это такое, где вокруг любого элемента можно, грубо говоря, провести окружность, внутри которой ни одного другого элемента этого множества не найдётся. То есть, есть некое минимально возможное «расстояние» между элементами множества, ближе которого они друг к другу не приближаются. Дискретный набор точек в микроскоп всегда при некотором увеличении будет выглядеть именно как набор точек, а не непрерывная линия.
Наоборот, в непрерывном (точнее, насколько я помню, «всюду плотном») множестве, сколь малое расстояние не возьми, всегда найдётся элемент, который ближе к выбранной точке, чем данное расстояние. Грубо говоря, какое увеличение в микроскопе не возьми, такое множество всё равно будет оставаться «линией», и не превратится в «набор точек».
Для чисел самым наглядным геометрическим представлением является ось координат. На этой оси целые числа будут являться отдельными точками, а рациональные – как раз таки всей осью, непрерывной (точнее, «всюду плотной») линией, которую, со сколь угодно большим увеличением ни рассматривай, она всё равно линией и останется, и никогда не «рассыплется» в набор отдельных точек.
И вот, получается, что на самом деле, количество «точек», составляющих дискретное множество и «непрерывную» линию – одинаково!!!
Помню, этот «дуализм» дискретного и непрерывного в своё время поразил меня больше всего из всего того странного и не укладывающегося в рамки «здравого смысла». Что связано с «бесконечностью».
4. Бесконечность больше бесконечности.
Но даже и на этом парадоксы всё-таки не заканчиваются.
Казалось бы, всё, дальше ехать некуда, больше найденной нами «бесконечности» ничего уже быть не может.
А вот оказывается, вовсе и не так!
Потому как «рациональные» числа – это вовсе даже не все числа, какие есть в природе.
И, как оказывается, даже не большая их часть.
Потому как кроме «рациональных чисел», каждое из которых можно представить в виде дроби, в числителе и знаменателе которой – целые числа, существуют ещё числа «иррациональные», в виде простых дробей не представимые. Любое рациональное число можно записать в виде периодической
десятичной дроби; иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби. Наиболее известным представителем таких чисел является число «пи
» - отношение длины окружности к её диаметру.
Так вот, я не помню уже доказательств (прошу поверить мне на слово), но иррациональные числа перенумеровать принципиально невозможно – их количество оказывается БОЛЬШЕ, чем количество целых чисел! Математически первая из рассмотренных мною бесконечностей (набор целых чисел) принято именовать счетной
, вторую (иррациональные числа) - несчетной
.
Насколько я помню, для сравнения «бесконечностей» между собой используется понятие «мощности»; и насколько я помню, этих самых «мощностей» опять таки может быть бесконечное количество:-)
5. Линия, которая бесконечно длиннее самой себя.
Ну, и самое интересное, что геометрически и рациональные, и иррациональные числа можно представить как одну и ту же линию – ось координат; и то, и другое множество является «всюду плотным», и на графике будет выглядеть как одна и та же линия! Сколько ни увеличивай разрешающую способность «микроскопа», различий между линией, состоящей из рациональных чисел, и линией, состоящей из иррациональных чисел, увидеть не удастся: при любом «увеличении» это будет одна и та же непрерывная («всюду плотная») линия!
И тем не менее, «рациональная линия» бесконечно «короче» «иррациональной»!
Неопределённость вида и вида - самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.
Большая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.
Неопределённость вида
Пример 1.
n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :
.
Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или "супермалому числу".
Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .
Пример 2. .
Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x :
.
Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем "икс" под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо "икса".
Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.
Неопределённость вида
Пример 3. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. В числителе - разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:
В знаменателе - квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):
Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:
Пример 4. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку
Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:
Пример 5. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Непосредственная подстановка значения x
= 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:
Пример 6.
Вычислить 
Решение: воспользуемся теоремами о пределах
Ответ: 11
Пример 7.
Вычислить 
Решение: в этом примере пределы числителя и знаменателя при равны 0:
; 
. Получили , следовательно, теорему о пределе частного применять нельзя.
Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3.
Квадратный трехчлен в числителе разложим по формуле , где x 1 и х 2 – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на (x-2), затем применим теорему 3.
Ответ:
Пример 8. Вычислить
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для избавления от неопределенности такого вида следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень аргумента. В данном примере нужно разделить на х :
Ответ:
Пример 9.
Вычислить 
Решение: х 3 :
Ответ: 2
Пример 10.
Вычислить 
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 5 :
= 
числитель дроби стремится к 1, знаменатель к 0, поэтому дробь стремится к бесконечности.
Ответ:
Пример 11. Вычислить
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 7 :
Ответ: 0
Производная.
Производной функции y = f(x) по аргументу x называется предел отношения ее приращения y к приращению x аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Если этот предел конечен, то функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х. Если же этот предел есть , то говорят, что функция y = f(x) имеет в точке х бесконечную производную.
Производные основных элементарных функций:
1. (const)=0
9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Правила дифференцирования:
a) 
в) 
Пример 1.
Найти производную функции 
Решение: Если производную от второго слагаемого находим по правилу дифференцирования дроби, то первое слагаемое представляет собой сложную функцию, производная которой находится по формуле:
, где 
, тогда
При решении были использованы формулы: 1,2,10,а,в,г.
Ответ:
Пример 21.
Найти производную функции 
Решение: оба слагаемых – сложные функции, где для первого , , а для второго , , тогда
Ответ:
Приложения производной.
1. Скорость и ускорение
Пусть функция s(t) описывает положение
объекта в некоторой системе координат в момент времени t. Тогда первая производная функции s(t) является мгновенной скоростью
объекта:
v=s′=f′(t)
Вторая производная функции s(t) представляет собой мгновенное ускорение
объекта:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Уравнение касательной
y−y0=f′(x0)(x−x0),
где (x0,y0) − координаты точки касания, f′(x0) − значение производной функции f(x) в точке касания.
3. Уравнение нормали
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
где (x0,y0) − координаты точки, в которой проведена нормаль, f′(x0) − значение производной функции f(x) в данной точке.
4. Возрастание и убывание функции
Если f′(x0)>0, то функция возрастает в точке x0. На рисунке ниже функция является возрастающей при x
Если f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Локальные экстремумы функции
Функция f(x) имеет локальный максимум
в точке x1, если существует такая окрестность точки x1, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x1)≥f(x).
Аналогично, функция f(x) имеет локальный минимум
в точке x2, если существует такая окрестность точки x2, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x2)≤f(x).
6. Критические точки
Точка x0 является критической точкой
функции f(x), если производная f′(x0) в ней равна нулю или не существует.
7. Первый достаточный признак существования экстремума
Если функция f(x) возрастает (f′(x)>0) для всех x в некотором интервале (a,x1] и убывает (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) для всех x из интервала }
